Question

7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且AB=2，若点P（2，$\sqrt{5}$），则|$\overline{AP}$+$\overline{BP}$+$\overline{OP}$|的取值范围是[7，11]．

Answer 1

分析 根据题意，设出点A、B的坐标，利用AB=2得出方程①；再写出向量$\overline{AP}$+$\overline{BP}$+$\overline{OP}$的坐标表示，求出${（\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{OP}）}^{2}$的取值范围，即可得出|$\overline{AP}$+$\overline{BP}$+$\overline{OP}$|的取值范围．

解答 解：根据题意，设点A（x₁，0），B（0，y₂），
AB=2，∴${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$=4①；
由点P（2，$\sqrt{5}$），
∴$\overline{AP}$+$\overline{BP}$+$\overline{OP}$=（2-x₁$\sqrt{5}$）+（2$\sqrt{5}$-y₂）+（2$\sqrt{5}$）
=（6-x₁，3$\sqrt{5}$-y₂）；
∴${（\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{OP}）}^{2}$=${（6{-x}_{1}）}^{2}$+${（3\sqrt{5}{-y}_{2}）}^{2}$
=81-12x₁-6$\sqrt{5}$y₂+（${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$）
=85-12x₁-6$\sqrt{5}$y₂②；
设$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2cosθ}\\{{y}_{2}=2sinθ}\end{array}\right.$，θ∈[0，2π）；
则85-12x₁-6$\sqrt{5}$y₂=85-24cosθ-12$\sqrt{5}$sinθ
=85-36sin（θ+α），其中α=tan$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
∴当sin（θ+α）=1时，|$\overline{AP}$+$\overline{BP}$+$\overline{OP}$|取得最小值$\sqrt{85-36}$=7，
当sin（θ+α）=-1时，|$\overline{AP}$+$\overline{BP}$+$\overline{OP}$|取得最大值$\sqrt{85+36}$=11；
∴|$\overline{AP}$+$\overline{BP}$+$\overline{OP}$|的取值范围是[7，11]．
故答案为：[7，11]．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了求向量模长的应用问题，考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．