Question

12．设命题P：|x-3|+|x+1|≤6，命题：q：|x+a|＞x+a．
（1）求命题p，q分别对应的不等式的解集A，B；
（2）若p是q的既不充分也不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对于命题p：由于：x-3|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2，x＞3}\\{4，-1≤x≤3}\\{-2x+2，x＜-1}\end{array}\right.$，可得|x-3|+|x+1|≤6的解集为[-2，4]=A；对于命题q：由于|x+a|＞x+a．可得x+a＜0，可得|x+a|＞x+a的解集为（-∞，-a）=B．
（2）由于p是q的既不充分也不必要条件，即可得出．

解答 解：（1）对于命题p：∵|x-3|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2，x＞3}\\{4，-1≤x≤3}\\{-2x+2，x＜-1}\end{array}\right.$，
∴当x＞3时，由2x-2≤6，解得3＜x≤4；
当3≥x≥-1时，由4≤6，解得-1≤x≤3；
当x＜-1时，由-2x+2≤6，解得-2≤x＜-1．
综上可得：|x-3|+|x+1|≤6的解集为[-2，4]=A．
对于命题q：∵|x+a|＞x+a．∴x+a＜0，解得x＜-a．
∴|x+a|＞x+a的解集为（-∞，-a）=B．
（2）∵p是q的既不充分也不必要条件，
∴4≥-a，
解得a≥-4．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法、分类讨论方法、简易逻辑的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．