Question

4．如图，设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则直线B₁C与平面AB₁D₁所成的角的正弦值是（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 根据线面角的定义先确定直线B₁C与平面AB₁D₁所成的角平面角，然后根据条件进行求值即可．

解答 解：以D为坐标原点，建立空间坐标系如图：
则A（1，0，0），D₁（0，0，1），B_{1（1，1，1）}，C（0，1，0）．
则$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{{AD}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{{AB}_{1}}$=（0，1，1），
设平面AB₁D₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{AD}_{1}}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{{AB}_{1}}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}-x+z=0\\ y+z=0\end{array}\right.$，令z=1，则x=1，y=-1，即$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1）．
则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（1，-1，1）•（-1，0，-1）=-1-1=-2，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{{B}_{1}C}$|=$\sqrt{2}$．
所以设直线B₁C与平面AB₁D₁所成的角是θ，则sinθ=|cos（$\frac{π}{2}$-θ）|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}C}}{\left|\overrightarrow{n}\right|\left|\overrightarrow{{B}_{1}C}\right|}$|=|$\frac{-2}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故选：C．

点评 本题只有考查空间直线和平面所成角的求法，利用向量法是解决空间角的基本方法，考查学生的运算能力．