Question

2．设函数f（x）=log_a（x+2）+log_a（4-x）（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域．
（2）求函数f（x）在区间[0，3]的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}x+2＞0\\ 4-x＞0\end{array}\right.$，从而求定义域；
（2）由复合函数的单调性及四则运算，结合对数函数的单调性，先判断函数的单调性，进而求出最值，得到值域．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x+2＞0\\ 4-x＞0\end{array}\right.$得：
x∈（-2，4），
故函数f（x）的定义域为（-2，4）．
（2）f（x）=log_a（x+2）+log_a（4-x）=log_a（-x²+2x+8），
当0＜a＜1时，y=log_at为减函数，
而t=-x²+2x+8在[0，1]为增函数，在[1，3]上为减函数，
故f（x）=log_a（x+2）+log_a（4-x）在[0，1]为减函数，在[1，3]上为增函数，
故当x=1时，函数f（x）取最小值log_a9，当x=3时，函数f（x）取最大值log_a5，
此时函数f（x）在区间[0，3]的值域为[log_a9，log_a5]，
同理可得：a＞1时，函数f（x）在区间[0，3]的值域为[log_a5，log_a9]

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，函数的定义域，函数的值域，难度中档．