Question

（理）下列函数中，在其定义域上不是奇函数的是（　　）

• A、y=ln（x+

  x2+1

  ）
• B、y=x（

  1

  2x-1

  +

  1

  2

  ）
• C、y=ln|

  1+x 1 3 +x 2 3

  1-x 1 3 +x 2 3

  |
• D、y=ln（secx+tanx）

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：先看函数的定义域是否关于原点对称，再看f（-x）与f（x）的关系，再根据函数的奇偶性的定义得出结论．

解答： 解：由于函数y=f（x）=ln（x+

x2+1

）的定义域为R，
且f（-x）=ln（-x+

x2+1

）=ln

1

x+ x2+1

=-f（x），故函数为奇函数．
由于函数y=f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）的定义域为{x|x≠0}，
且满足f（-x）=-x（

1

2-x-1

+

1

2

）=-x（

2x

1-2x

+

1

2

）=x（

2x-1+1

2x-1

-

1

2

）=x（

1

2x-1

+

1

2

）=f（x），
故函数f（x）为偶函数，不是奇函数．
由于y=ln|

1+x 1 3 +x 2 3

1-x 1 3 +x 2 3

|=ln

1+x 1 3 +x 2 3

1-x 1 3 +x 2 3

 的定义域为R，
f（-x）=ln

1+x 1 3 +x 2 3

1-x 1 3 +x 2 3

=ln

1-x 1 3 +x 2 3

1+x 1 3 +x 2 3

=-f（x），故函数是奇函数．
由于函数y=f（x）=ln（secx+tanx）=ln

1+sinx

cosx

=ln

(cos x 2 +sin x 2 )2

(cos x 2 +sin x 2 )(cos x 2 -sin x 2 )

=ln

cos x 2 +sin x 2

cos x 2 -sin x 2

=ln

1+tan x 2

1-tan x 2

，
f（-x）=ln

1+tan x 2

1-tan x 2

=-ln

1-tan x 2

1+tan x 2

=-f（x），故函数为奇函数．
故选：B．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，要先看定义域是否关于原点对称，再看f（-x）与f（x）的关系，属于中档题．