Question

【题目】已知函数，其中

（1）若函数在区间上不单调，求的取值范围；

（2）若函数在区间上有极大值，求的值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）由函数，其中x＞0，a∈R．可得．由题意可得：在区间（1，+∞）上有解，分离参数可得： 上有解．设，利用到时讨论其的单调性即可得出．
（2）当a≥0时，函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，此时无极值．

当时，函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，此时无极值．

当时，，得.．（其中）

．所以函数f（x）在[1，α）上单调递减，在（α，β）上单调递增，在（β，+∞）上单调递减，由极大值，又aβ2+β-1=0，消去a利用导数研究函数的单调性进而得出．

（1）因为，

所以上有解，

所以 上有解.

设

所以函数在上是减函数，在上是增函数，

所以

经验证，当时，函数上单调，

所以.

（2）当 所以.

当时， 所以.

当时，由，得.

（其中）

所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

由极大值.

又

设函数，则，

所以函数在上单调递增.

而所以

故当时，.