Question

【题目】设整数满足.记.求f的最小值f0.并确定使f=f0成立的数组的个数.

Answer 1

【答案】；个.

【解析】

根据题设条件，化简得到，在结合二次函数的性质，即可求得最小值，再由对每个k(1≤k≤49)，设等于k的项数为，结合方程的正整数解的组数，即可求解.

由题意，，

可得， ①

由于及均为非负整数，故有，

且，

于是，②

由①，②得，

结合及，

可知，③

另一方面，令，，，

此时验证，知上述所有不等式均取到等号，从而f的最小值.

以下考虑③的取等条件.此时，且②中的不等式均取等，

即.

因此，且对每个k(1≤k≤49)，中至少有两项等于k.易验证，知这也是③取等的充分条件.

对每个k(1≤k≤49)，设等于k的项数为，

则nk为正整数，且，

即，

该方程的正整数解的组数为，

且每组解唯一对应一个使④取等的数组，

故使成立的数组有个.