Question

【题目】已知数列、满足，，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：；

（Ⅲ）设数列的前项和为，求证：当时，．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）推导出数列，可得出，利用基本不等式可得出，再由可得出，利用作差法证得，进而可证得结论；

（Ⅱ）由可得出，结合可推导出，进而得出，再利用放缩法可证得结论成立；

（Ⅲ）由可推导出，进而可得出，再利用累加法及等比数列的求和公式即可证明．

（Ⅰ）因为，则为常数数列，

又，，且，则，

故，，易知，

所以（当且仅当时取等号），

因为，因此．

又，所以；

（Ⅱ）由，有，

又，则，则；

故，即，

所以，

当时，；

当时，，

因此，的前项和；

（Ⅲ）由，得，

又，则，故，

所以，

因此，的前项和．