Question

【题目】已知椭圆，P是椭圆的上顶点，过点P作斜率为的直线l交椭圆于另一点A，设点A关于原点的对称点为B

（1）求面积的最大值；

（2）设线段PB的中垂线与y轴交于点N，若点N在椭圆内部，求斜率k的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)2；(2)

【解析】

(1)根据题意可知,故当在左右顶点的时候面积最大.

(2)设的方程,联立与椭圆的方程,求出的坐标,再得出的坐标,进而求得的中垂线,再求得的坐标,根据点N在椭圆内部得到不等式求解即可.

(1)设点,,.

根据题意可知.

故当时面积取最大值2.

(2) 设直线的方程：.联立直线与椭圆的方程有,整理可得：

,因为,故.代入可得.

所以,.

故中点坐标为.

又的斜率为.故中垂线的斜率为.

中垂线的方程为：.代入有.

故.又点在椭圆内部.故,解得,

即.又,故