Question

15．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α为直线的倾斜角）．
（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C有公共点，求角α的正切值的取值范围．

Answer 1

分析 （I）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α为直线的倾斜角）．对倾斜角α分类讨论，消去参数t即可得出普通方程．
（II）利用点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α为直线的倾斜角）．
当$α=\frac{π}{2}$时，直线l的普通方程为x=-1；
当$α≠\frac{π}{2}$时，直线l的普通方程为y=（x+1）tanα．
x²+y²=2x，即为曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ） 当直线l的普通方程为x=-1，不符合．
∴直线l的普通方程为y=（x+1）tanα．
由于直线与曲线C有公共点，可得：$\frac{|2tanα|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$≤1，
解得  $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤tana≤\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．