Question

已知椭圆的离心率，且椭圆过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M为椭圆C上的动点，F为椭圆的右焦点，以M为圆心，MF长为半径作圆M，过点E（-6，0）作圆M的两条切线EA，EB（A，B为切点），求点M的坐标，使得四边形EAMB的面积最大．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意得，，解方程可求a，b，c，进而可求椭圆的方程
（2）设M（x，y），圆M：（x-x）²+（y-y）²=r²，其中，根据圆的切线的性质可求EA，再由S_EAMB=2S_△EAM=及，从而可把所求的面积转化为关于x的函数，利用导数可求函数的最值
解答：解：（1）依题意得，
…（3分）
解得，…（4分）
所以椭圆C的方程为．           …（5分）
（2）设M（x，y），圆M：（x-x）²+（y-y）²=r²，其中，（-2≤x≤2）…（7分）…（8分）
又M（x，y）在椭圆上，则…（9分）
所以，（-2≤x≤2）…（10分）
令，（-2≤x≤2）
，（-2≤x≤2）…（11分）
当时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0…（12分）
所以当时，f（x）有最大值，即时，四边形EAMB面积取得最大值…（13分）
此时点M的坐标为或…（14分）
点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程，圆的切线的性质的应用及利用导数判断函数的单调性，求解函数的最值，属于知识的综合性应用．