Question

已知椭圆的离心率，且右焦点F到左准线的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知B为椭圆C在y轴的左测上一点，线段BF与抛物线y²=2px（p＞0）交于A，且满足，求p的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知离心率及点F到准线的距离，列方程即可得a、b、c的值；（2）设B（x，y），A（x_A，y_A），利用向量相等的意义得两点坐标间的关系，分别代入椭圆和抛物线方程即可得p关于
x的函数，利用换元法求值域即可
解答：解：（1）∵的离心率，∴．①
而右焦点到左准线之距．②
又a²=b²+c²     ③
由①②③解之得，b=1．
从而所求椭圆方程为．
（2）椭圆的右焦点为F（1，0），点B在椭圆上，
设B（x，y），其中，设A（x_A，y_A）
由，得（x-x_A，y-y_A）=2（x_A-1，y_A）
∴．
由点A在抛物线y²=2px上，得．
又，
∴．
令t=x+2，则，
即．
∵．∴（当且仅当时取“=”）．
∴．
又当时，为椭圆在y轴左侧上的点．
故p的最大值为．
点评：本题考查了椭圆的标准方程和几何性质，抛物线的标准方程，利用函数求最值的思想方法，向量在解析几何中的应用