Question

2．阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=B 有α=$\frac{A+B}{2}$，β=$\frac{A-B}{2}$
代入③得 sinA+sinB=2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$．
类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：
cosA-cosB=-2sin$\frac{A+B}{2}$sin$\frac{A-B}{2}$．

Answer 1

分析 通过两角和与差的余弦公式，令α+β=A，α-β=B有α=$\frac{A+B}{2}$，β=$\frac{A-B}{2}$，即可证明结果．

解答 证明：因为cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，------①
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ②
①-②得cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ③…
令α+β=A，α-β=B有α=$\frac{A+B}{2}$，β=$\frac{A-B}{2}$，
代入③得cosA-cosB=-2sin $\frac{A+B}{2}$sin$\frac{A-B}{2}$．

点评 本小题主要考查类比推理，考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等．