Question

2．设M是椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$上的一点，F₁，F₂为焦点，且$∠{F_1}M{F_2}=\frac{π}{3}$，则△MF₁F₂的面积为（　　）

• A． 3
• B． $16（2+\sqrt{3}）$
• C． $16（2-\sqrt{3}）$
• D． $3\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意可知a=5，c=4，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，m+n=10，则余弦定理即可求得|PF₁|•|PF₂|=12，根据三角形的面积公式即可求得△MF₁F₂的面积．

解答 解：∵椭圆方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，则a²=25，b²=9，可得c²=a²-b²=16，即a=5，c=4，
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则有m+n=10，
∵∠F₁MF₂=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理可知：64=m²+n²-2mncos$\frac{π}{3}$，∵（m+n）²=m²+n²+2mn，
∴mn=12，
∴|PF₁|•|PF₂|=12，
∴△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|sin$\frac{π}{3}$，
=$\frac{1}{2}$×12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．
故选D．

点评 本题考查椭圆的焦点三角形的面积，着重考查了余弦定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．