Question

7．函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+cos²ωx-$\frac{1}{2}$，ω＞0，x∈R，其相邻两对称轴的距离为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）确定ω的值；
（Ⅱ）在所给的平面直角坐标系中作出函数f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{12}$]的图象；
（Ⅲ）经过怎样的变换，由函数f（x）的图象可以得到函数y=cosx的图象？写出变换过程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值．
（Ⅱ）用五点法作函数f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{12}$]的图象．
（Ⅲ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx+{cos^2}ωx-\frac{1}{2}\;=sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，由其相邻两对称轴的距离为$\frac{π}{2}$．
可得 $T=\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{ω}=2×\frac{π}{2}=π⇒ω=1$．
（Ⅱ）∵$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$，列表：

2x+$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$
sin（2x+$\frac{π}{6}$）	1	0	-1	0

它的图象为

（Ⅲ）把 $f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$横坐标变为原来2倍，纵坐标不变得$f（x）=sin（x+\frac{π}{6}）$的图象，
再将横坐标向左平行移动$\frac{π}{3}$得$f（x）=sin（x+\frac{π}{2}）=cosx$ 的图象．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．