Question

7．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx-2sin²$\frac{x}{2}$+1，f′（x）是f（x）的导函数．
（1）求f′（x）的最小正周期和最大值；
（2）函数F（x）=f（x）f′（x）-$\sqrt{3}$f²（x），当x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]时，|F（x）|≤m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数f′（x），结合三角函数的性质即可的最小正周期和最大值；
（2）求出函数F（x）=f（x）f′（x）-$\sqrt{3}$f²（x）的表达式，求出当x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]时，|F（x）|的最大值即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinx-2sin²$\frac{x}{2}$+1=$\sqrt{3}$sinx+cosx，
∴f′（x）=$\sqrt{3}$cosx-sinx=2cos（x+$\frac{π}{6}$），
则函数的最小正周期T=2π．最大值为2；
（2）函数F（x）=f（x）f′（x）-$\sqrt{3}$f²（x）
=（$\sqrt{3}$sinx+cosx）（$\sqrt{3}$cosx-sinx）-$\sqrt{3}$×（$\sqrt{3}$sinx+cosx）²
=3sinxcosx-sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$sin²x-$\sqrt{3}$（3sin²x+cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx）
=2sinxcosx+$\sqrt{3}$cos2x-$\sqrt{3}$（1+2sin²x+$\sqrt{3}$sin2x）
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x-3sin2x-$\sqrt{3}$（2-cos2x）
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x-3sin2x-2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$cos2x
=2$\sqrt{3}$cos2x-2sin2x-2$\sqrt{3}$
=4cos（2x+$\frac{π}{6}$）-2$\sqrt{3}$．
当x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]时，
2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]，
则cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
4cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-2，4]，
4cos（2x+$\frac{π}{6}$）-2$\sqrt{3}$∈[-2-2$\sqrt{3}$，4-2$\sqrt{3}$]，
则0≤|4cos（2x+$\frac{π}{6}$）-2$\sqrt{3}$|≤2+2$\sqrt{3}$，
若|F（x）|≤m恒成立，
则m≥2+2$\sqrt{3}$，
即实数m的取值范围[2+2$\sqrt{3}$，+∞）．

点评 本题主要考查三角函数的化简以及导数的运算，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．