题目内容
若2xlnx≤2mx2-1在（1，e）上恒成立，则m的取值范围为 ．
考点：函数恒成立问题
专题：综合题,导数的综合应用
分析：先分离参数，构造函数，确定函数的单调性，即可求得m的取值范围．
解答：
解：2xlnx≤2mx2-1，得m≥
+
令函数g（x）=
+
，求导数，可得g′（x）=
令f（x）=lnx+
，则x∈（0，1），f'（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（1，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．
∴f（x）＞f（1）=1，即lnx+
＞1，∴g′（x）=
＜0
∴g（x）在x∈（0，+∞），g'（x）＜0，g（x）单调递减，
∴在（1，e）上，函数g（x）=
+
＜
，
∴m≥
．
故答案为：m≥
．
| lnx |
| x |
| 1 |
| 2x2 |
令函数g（x）=
| lnx |
| x |
| 1 |
| 2x2 |
1-lnx-
| ||
| x2 |
令f（x）=lnx+
| 1 |
| x |
x∈（1，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．
∴f（x）＞f（1）=1，即lnx+
| 1 |
| x |
1-lnx-
| ||
| x2 |
∴g（x）在x∈（0，+∞），g'（x）＜0，g（x）单调递减，
∴在（1，e）上，函数g（x）=
| lnx |
| x |
| 1 |
| 2x2 |
| 1 |
| 2 |
∴m≥
| 1 |
| 2 |
故答案为：m≥
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是确定函数的单调性．
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