Question

【题目】已知函数(aR)，其中e为自然对数的底数．

（1）若，求函数的单调减区间；

（2）若函数的定义域为R，且，求a的取值范围；

（3）证明：对任意，曲线上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）当时，，定义域为R.求出，令，即得的单调减区间；

（2）由函数的定义域为R，得恒成立，故，得.分三种情况讨论，即得a的取值范围；

（3）设切点为，求出，写出切线方程.把点代入，化简得.令，求出，判断的单调性，结合零点存在定理，即可证明.

（1）当时，，定义域为R..

．

令，得，

函数的单调减区间为．

（2）由函数的定义域为R，得恒成立，

．

由，得．

当时，，不符合题意．

当时，当时，，在上单调递减，，不符题意．

当时，当时，，在上单调递减，，满足题意．

综上，a的取值范围为．

（3）证明：设切点为，则，

切线方程为．

由，化简得．

设，则只需证明函数有且仅有三个不同的零点．

由(2)可知时，函数的定义域为R，．

恒成立，

有两不相等的实数根x1和x2，不妨．

可得下表：

x	(－∞,x1)	x1	(x1,x2)	x2	(x2,＋∞)
h’(x)	＋	0	－	0	＋
h(x)	增	极大值	减	极小值	增

所以函数h(x)最多有三个零点．

，，

．

函数的图象不间断，函数在上分别至少有一个零点．

综上所述，函数h(x)有且仅有三个零点，即对任意，曲线上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．