Question

【题目】已知抛物线：，其焦点到准线的距离为2.直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线与，与交于点.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4.

【解析】

（1）根据焦点到准线的距离为，即可得到抛物线的方程；

（2）利用导数求出抛物线的两条切线方程，再利用直线垂直，得到斜率相乘为，从而求得直线方程为，再利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可得答案；

（1）由题意知，抛物线焦点为：，准线方程为，

焦点到准线的距离为2，即，

所以抛物线的方程为.

（2）抛物线的方程为，即，所以.

设，，

：，：.

由于，所以，即.

设直线方程为，与抛物线方程联立，得，所以.

，，，所以，即：.

联立方程，得，即.

点到直线的距离.

，

所以.

当时，面积取得最小值4.