Question

【题目】已知直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，且直线与直线的斜率之积为.若直线与直线交于点，与直线交于点，且点为直线上一点.

（1）求的轨迹方程；

（2）若为椭圆的上顶点，直线与轴交点，记表示面积，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设，，，结合题意求得，然后消去参数即可得解；

（2）结合题意，求出，，，，的坐标，然后结合三角形面积公式求解即可.

解：（1）设，，，

联立方程，

得，

由，且，

因此，

将其代入得，

因为，

所以，

∴，

所以直线方程为，

可得，

∴，

代入，得，

消去，可得点的轨迹方程为.

（2）根据题意，，

所以椭圆的方程为.

由（1）知，，，

对于直线，令，，

所以，

所以，，，，

所以，，

所以，

令，

则，

当，

即时，取得最大值，

此时，满足.

故取得最大值.