题目内容
已知抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，则k的取值范围是 ．
考点：直线与圆锥曲线的关系
专题：高考数学专题,圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：设出B、C两点坐标，得到直线BC方程x=-ky+m，把直线BC方程与抛物线方程联立，化为一元二次方程，由韦达定理求出BC中点，应用中点在对称轴上，且判别式大于0，可求出k的取值范围．
解答：
解：设B、C关于直线y=kx+3对称，故可设直线BC方程为x=-ky+m，代入y2=4x，得 y2+4ky-4m=0．
设B（x1，y1）、C（x2，y2），
则 BC中点M（x0，y0），
则y0=
=-2k，x0=2k2+m．
∵点M（x0，y0）在直线y=kx+3上，
∴-2k=k（2k2+m）+3，
∴m=-
．
又∵直线BC与抛物线交于不同两点，∴△=16k2+16m＞0．
把m代入化简得-
＜0，
即
＜0，
解得-1＜k＜0．
故答案为：（-1，0）
设B（x1，y1）、C（x2，y2），
则 BC中点M（x0，y0），
则y0=
| y1+y2 |
| 2 |
∵点M（x0，y0）在直线y=kx+3上，
∴-2k=k（2k2+m）+3，
∴m=-
| 2k3+2k+3 |
| k |
又∵直线BC与抛物线交于不同两点，∴△=16k2+16m＞0．
把m代入化简得-
| 2k3+2k+3 |
| k |
即
| (k+1)(k2-k+3) |
| k |
解得-1＜k＜0．
故答案为：（-1，0）
点评：本题考查点关于线的对称问题，两条直线垂直的性质，中点公式的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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