题目内容
已知α为锐角，求（sinα+tanα）（cosα+cotα）的值域．
考点：同角三角函数基本关系的运用
专题：计算题,三角函数的求值
分析：利用同角三角函数基本关系化简，再换元，利用配方法，即可得出结论．
解答：
解：（sinα+tanα）（cosα+cotα）=（sinα+
）（cosα+
）=sinαcosα+sinα+cosα+1
设t=sinα+cosα=
sin（α+
），
∵α为锐角，∴t∈（
，1]，
又sinαcosα+sinα+cosα+1=
+t+1=
，
∴sinαcosα+sinα+cosα+1∈（
+
，2]．
| sinα |
| cosα |
| cosα |
| sinα |
设t=sinα+cosα=
| 2 |
| π |
| 4 |
∵α为锐角，∴t∈（
| ||
| 2 |
又sinαcosα+sinα+cosα+1=
| t2-1 |
| 2 |
| (t+1)2 |
| 2 |
∴sinαcosα+sinα+cosα+1∈（
| 3 |
| 4 |
| ||
| 2 |
点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查换元法、配方法，属于中档题．
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