Question

已知等比数列{a_n}中，a_n+1＞a_n，且满足a₂+a₄=20，a₃=8
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=

1

an

log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出an=2n．
（Ⅱ）由b_n=

1

an

log₂a_n=

1

2n

log22n=

n

2n

，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q（q＞1）
由已知条件，得：

a1q+a1q3=20 a1q2=8

⇒

a1=2 q=2

，
∴an=2n．…（6分）
（Ⅱ）∵b_n=

1

an

log₂a_n=

1

2n

log22n=

n

2n

，
∴S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，②
①-②，得：

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-n•

1

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-（n+2）•(

1

2

)n+1，
∴Sn=2-(n+2)•(

1

2

)n．…（12分）

点评：本题主要考查数列的通项公式的求法、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意错位相减法的合理运用．