Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄=S₂，a_2n+2=2a_n，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=

4

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n，并求T_n的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列通项公式求出a₁=4，d=2，由此能求出a_n=2n+2．
（2）由b_n=

4

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，利用裂项求和法能求出

1

6

≤Tn＜

1

2

．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄=S₂，a_2n+2=2a_n，
∴

a1+3d=2a1+d a1+(2n-1)d+2=2[a1+(n-1)d]

，
解得a₁=4，d=2，
∴a_n=4+（n-1）×2=2n+2．
（2）b_n=

4

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴T_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

，
∴Tn＜

1

2

，又Tn=

1

2

-

1

n+2

是增函数，∴（T_n）_min=T₁=

1

2

-

1

1+2

=

1

6

，
∴

1

6

≤Tn＜

1

2

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．