Question

如图所示，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是矩形，AB=4，AD=3，AA₁=5，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，则AC₁=

 

．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：观察图形及题设条件，可构造出与AC₁有关的三角形然后利用三角形求此线段的长度，由题设条件可以证出AA₁在底面上的射影是角BAD的角平分线，由几何体的几何特征知，CC₁在底面上的射影在BC，DC的所组成的角的角平分线上，且此垂足到C的距离与点A₁在底面的垂足O到A的距离相，故可依据题设条件求出点O到AB，AD的距离，即求得图中HR，CR的长度，补出如图的图形，在直角三角形中即可求出AC₁的长．

解答： 解：由题意，如图，作A₁O⊥底面于O，作OE垂直AB于E，OF垂直AD于F，连接A₁F，A₁E，
由于，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，故有△A₁FA≌△A₁EA，即A₁F=A₁E
从而有△A₁FO≌△A₁EO，即有OF=OE，由作图知，O在角DAB的角平分线上，
又底面是矩形，故角DAO=角BAO=45°，
又AB=4，AD=3，AA₁=5，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，
∴A₁F=A₁E=5

3

，AE=AF=

5

2

，于是有AO=

5 2

2

，
在直角三角形A₁OA中，解得A₁O=

5 2

2

，
在图中作C₁H垂直底面于H，作HR垂直DC延长线与R，由几何体的性质知，HR=CR=

5

2

，A₁O=C₁H=

5 2

2

，
连接AH，得如图的直角三角形ASH，直角三角形AHC₁，由已知及上求解得AS=

13

2

，SH=

11

2

∴AC₁²=AH²+C₁H²=AS²+SH²+C₁H²=

169

4

+

121

4

+

50

4

=85，
∴AC₁=

85

，
故答案为：

85

点评：本题主要考查了体对角线的求解，同时考查了空间想象能力，计算推理的能力，本题解题的关键是有着较强的空间感知能力以及根据题设条件构造图形的能力，本题是一个创造型题，作出恰当的辅助线对求解本题很重要，本题是立体几何中综合性较强的题，解题中用到了间接法的技巧，通过求点A₁到底面的距离求出点C₁到底面的距离．