Question

函数f（x）=sin（ωx+φ）的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，其中点P为y=f′（x）的图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．
（1）求曲线段

ABC

与x轴所围成的区域的面积
（2）若|AC|=

π

3

，点P的坐标为（0，

3 3

2

），且ω＞0，0＜ω＜

π

2

，求y=f（x）在区间[0，

π

3

]的取值范围．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的综合应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用定积分的意义可得：曲线段

ABC

与x轴所围成的区域的面积S=|

∫

c a

f′(x)dx|．
（2）由图象可知：|AC|=

T

2

=

2π ω

2

=

π

3

，解得ω=3．由点P的坐标为（0，

3 3

2

），代入可得φ=

π

6

．即可得出f（x）=sin(3x+

π

6

)．再利用当x∈[0，

π

3

]时，

π

6

≤3x+

π

6

≤

7π

6

，即可得出．

解答： 解：（1）曲线段

ABC

与x轴所围成的区域的面积S=|

∫

c a

f′(x)dx|=|f(x)

|

c a

|=|sin（ωc+φ）-sin（ωa+φ）|=2．
（2）由图象可知：|AC|=

T

2

=

2π ω

2

=

π

ω

=

π

3

，解得ω=3．
∵点P的坐标为（0，

3 3

2

），
∴3cosφ=

3 3

2

，0＜φ＜

π

2

，解得φ=

π

6

．
∴f（x）=sin(3x+

π

6

)．
当x∈[0，

π

3

]时，

π

6

≤3x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(3x+

π

6

)≤1

点评：本题考查了三角函数的图象与性质、定积分的几何意义，考查了推理能力和计算能力，属于难题．