题目内容

正数数列{an}和{bn}满足：对于任意的自然数n，an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列．
（1）证明：数列{
bn
}为等差数列；
（2）若a1=1，b1=2，a2=3，求数列{an}和{bn}的通项公式．
分析：（1）通过已知得到关于数列的项的两个等式，处理方程组得到2
bn
=
bn-1
+
bn+1
，利用等差数列的定义得证
（2）利用等差数列的通项公式求出
bn
的通项公式，进而求出bn，an．
解答：证明：（1）∵an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列
∴2bn=an+an+1①，
an+12=bn•bn+1②．
由②得an+1=
bn•bn+1
③．
将③代入①得，对任意n≥2，n∈N*，
有2bn=
bn-1•bn
+
bn•bn+1
．
即2
bn
=
bn-1
+
bn+1
，
∴{
bn
}是等差数列．
解：（2）设数列{
bn
}的公差为d，
由a1=1，b1=2，a2=3，得b2=
9
2
．
∴
b1
=
2
，
b2
=
3
2
2

d=
b2
-
b1
=
2
2
．
∴
bn
=
n+1
2
2

∴bn=
(n+1)2
2
，
an=
bn•bn+1
=
n(n+1)
2
点评：证明数列是等差数列或等比数列可用的依据是定义或中项；解决不等式恒成立常通过分离参数，构造新函数，转化为求新函数的最值．
练习册系列答案
相关题目
已知数列an和bn满足：a1=λ，an+1=
23
an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中λ为实数，n为正整数．
（1）试判断数列an是否可能为等比数列，并证明你的结论；
（2）求数列bn的通项公式；
（3）设a＞0，Sn为数列bn的前n项和，如果对于任意正整数n，总存在实数λ，使得不等式a＜Sn＜a+1成立，求正数a的取值范围．
已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，记y=f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）定义正数数列{an}，a1=
1
2
，
a
2
n+1
=2anf(an)(n∈N*)，数列{
1
a
2
n
-2}是等比数列；
（Ⅲ）令bn=
1
a
2
n
-2，Sn为{bn}的前n项和，求使Sn＞
31
8
成立的最小n值．
正数数列{an}的前n项和Sn，满足4Sn=（an+1）2，试求：
（1）数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
1
anan+1
，数列的前n项的和为Bn，求证：Bn＜
1
2
；
（3）设cn=an•（
1
3
）n，求数列{cn}的前n项和Tn．
已知正数数列{an}和{bn}满足：对任意（n∈N*），an，bn，an+1成等差数列，且，
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设a1=1，a2=2，求{an}和{bn}的通项公式。

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