Question

正数数列{a_n}的前n项和S_n，满足4S_n=（a_n+1）²，试求：
（1）数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

anan+1

，数列的前n项的和为B_n，求证：B_n＜

1

2

；
（3）设c_n=a_n•（

1

3

）ⁿ，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由4S_n=（a_n+1）²，利用迭代法能求出a_n=2n-1．
（2）由bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和法能够证明B_n＜

1

2

．
（3）由a_n=2n-1，知c_n=a_n•（

1

3

）ⁿ=（2n-1）•（

1

3

）ⁿ，利用错位相减法能够求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵4S_n=（a_n+1）²，
∴4S_n-1=（a_n-1+1）²，n≥2，
作差，得4（S_n-S_n-1）=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
∴4a_n=（a_n+a_n-1+2）（a_n-a_n-1），
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0．
∵{a_n}正数数列，∴a_n-a_n-1=2，
由2

S1

=a₁+1，得a₁=1，
∴a_n=2n-1．…（4分）
（2）∵bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴数列的前n项的和
B_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

-

1

2(2n+1)

＜

1

2

，
故B_n＜

1

2

．…（9分）
（3）∵a_n=2n-1，
∴c_n=a_n•（

1

3

）ⁿ=（2n-1）•（

1

3

）ⁿ，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=1•

1

3

+3•(

1

3

)2+5•（

1

3

）³+…+（2n-3）•（

1

3

）^n-1+（2n-1）•（

1

3

）ⁿ，

1

3

T_n=1•(

1

3

)2+3•（

1

3

）³+5•（

1

3

）⁴…+（2n-3）•（

1

3

）ⁿ+（2n-1）•（

1

3

）ⁿ⁺¹，
∴

2

3

Tn=

1

3

+2•（

1

3

）²+2•（

1

3

）³+2•（

1

3

）⁴+…+2•（

1

3

）ⁿ-（2n-1）•（

1

3

）ⁿ⁺¹
=2×[

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+（

1

3

）⁴+…+（

1

3

）ⁿ]-

1

3

-（2n-1）•（

1

3

）ⁿ⁺¹
=2×

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

-

1

3

-（2n-1）•（

1

3

）ⁿ⁺¹
=1-（

1

3

）ⁿ-

1

3

-（2n-1）•（

1

3

）ⁿ⁺¹
=

2

3

-（

1

3

）ⁿ-（2n-1）•（

1

3

）ⁿ⁺¹，
∴T_n=1-

3

2

•(

1

3

)n-（2n-1）•

3

2

•（

1

3

）ⁿ⁺¹=1-

n+1

3n

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意迭代法、裂项求和法、错位相减法的合理运用．