Question

已知数列a_n和b_n满足：a₁=λ，an+1=

2

3

an+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ为实数，n为正整数．
（1）试判断数列a_n是否可能为等比数列，并证明你的结论；
（2）求数列b_n的通项公式；
（3）设a＞0，S_n为数列b_n的前n项和，如果对于任意正整数n，总存在实数λ，使得不等式a＜S_n＜a+1成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）题目要求试判断数列a_n是否可能为等比数列，并证明你的结论，故本题要先做出判断，然后再证明，证明方法是先假设其成立，引入参数，由等比的性质建立方程，看参数能不能求出，若能求出，则说明是，否则说明不是．
（2）研究数列相邻两项，看相邻项的关系，以确定数列b_n的性质，然后求出其通项公式；
（3）求出数列的前n项和，然后根据形式求出其最值，则参数的范围易知．

解答：解：（1）对任意实数λ，数列a_n不可能为等比数列．
证明：假设存在一个实数λ，使{a_n}是等比数列，则有a²₂=a₁a₃，，即(

2

3

λ-3)2=λ(

4

9

λ-4)?

4

9

λ2-4λ+9=

4

9

λ2-4λ?9=0，矛盾．
所以{a_n}不是等比数列．
（2）因为b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]=（-1）ⁿ⁺¹（

2

3

a_n-2n+14）=-

2

3

（-1）ⁿ•（a_n-3n+21）=-

2

3

b_n
又b₁=-（λ+18），所以，当λ=-18，b_n=0（n∈N⁺）；
当λ≠-18时，b₁=（λ+18）≠0，由上可知b_n≠0，
∴

ba+1

bn

=-

2

3

（n∈N⁺）．
∴数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-

2

3

为公比的等比数列．b_n=-（λ+18）•（-

2

3

）^n-1．
（3）由（2）知，当λ=-18，b_n=0，S_n=0，不满足题目要求．
∴λ≠-18，故知b_n=-（λ+18）•（-

2

3

）^n-1，
于是可得S_n=-

n

i=1

i4=

1

5

n4+

1

2

n4+

1

3

n3-

1

30

n，
要使a＜S_n＜a+1对任意正整数n成立，即a＜-

3

5

（λ+18）•[1-（-

2

3

）ⁿ]＜a+1（n∈N⁺）得

a

1-(- 2 3 )n

＜-

3

5

(λ+18)＜

a+1

1-(- 2 3 )n

①
令f(n)=1-(-

2

3

)n，则
当n为正奇数时，1＜f（n）≤

5

3

；当n为正偶数时，

5

9

≤f(n)＜1，
∴f（n）的最大值为f（1）=

5

3

，f（n）的最小值为f（2）=

5

9

，
于是，由①式得

9

5

a＜-

3

5

（λ+18）＜

3

5

(a+1)，即得-（a+1）-18＜λ＜-3a-18．
∴-（a+1）-18＜-3a-18，
∴0＜a＜

1

2

．

点评：本题属于数列综合运用题，考查了由所给的递推关系证明数列的性质，对所给的递推关系进行研究求数列的递推公式以及利用数列的求和公式求其和，再由和的存在范围确定使得不等式成立的参数的取值范围，难度较大，综合性很强，对答题者探究的意识与探究规律的能力要求较高，是一道能力型题．