Question

6．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，S₉=81
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式
（Ⅱ）求$\frac{1}{{S}_{1}+1}$$+\frac{1}{{S}_{2}+2}$+…$+\frac{1}{{S}_{2017}+2017}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）等差数列{a_n}的公差设为d，由等差数列的求和公式，解方程可得公差，再由等差数列的通项公式，即可得到所求通项；
（Ⅱ）求得前n项和为S_n，可得$\frac{1}{{S}_{n}+n}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）等差数列{a_n}的公差设为d，
a₁=1，S₉=81，即为9×1+$\frac{1}{2}$×9×8d=81，
解得d=2，
则a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）前n项和为S_n=n+$\frac{1}{2}$n（n-1）×2=n²，
则$\frac{1}{{S}_{n}+n}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
可得$\frac{1}{{S}_{1}+1}$$+\frac{1}{{S}_{2}+2}$+…$+\frac{1}{{S}_{2017}+2017}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2017}$-$\frac{1}{2018}$=1-$\frac{1}{2018}$=$\frac{2017}{2018}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．