Question

【题目】已知函数 .
（1）证明： ；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）解：令 ,则
当 所以
即 在 递增；在 递减；
所以 ，
（2）解：记 则在 上， ，

①若 ， ， 时， ， 单调递增， ，
这与 上 矛盾；
②若 ， ， 上 递增，而 ，这与 上 矛盾；
③若 ， ， 时 ， 单调递减； 时 单递增；
∴ ，即 恒成立；
④若 ， ， 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减，∴ ，这与 上 矛盾；
⑤若 ， ， 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减，∴ 这与 上 矛盾．
综上，实数 的取值范围是 ．
【解析】(1)设一个新的函数g(x)= f ( x ) ( x 1 )然后求导，证明其在定义域内小于等于零.
(2)设一个新的函数h（x）=ax+lnx,对a的取值进行讨论，然后判断当h=1时的值是否符合题意.