题目内容
【题目】已知椭圆和双曲线有共同焦点 
, 
是它们的一个交点，且 
，记椭圆和双曲线的离心率分别为 
，则 
的最大值为（ ）
A.
B.
C.2
D.3
【答案】A
【解析】考查一般性结论，当 
时：
设 
，椭圆的长半轴长为 
，双曲线的长半轴长为 
，两曲线的焦距为 
，结合题意有： 
，
两式平方相加可得： 
，
两式平方作差可得： 
，
由余弦定理有： 
，
则： 
， 
，
即 
，结合二倍角公式有： 
.
本题中， 
，则有： 
，即 
，
则 
，当且仅当 
时等号成立，
据此可得 
的最大值为 
.
故答案为：A.
本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来．
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