Question

斜率为1的直线过抛物线y²=4x的焦点，与抛物线相交于A，B两点（A点在x轴上方）．
（1）求A点坐标．
（2）求线段AB的长．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的方程算出抛物线的焦点为F（1，0），从而得到题中的直线方程为y=x-1，将直线方程与抛物线方程联解，得到方程组的解并结合A点在x轴的上方加以判别，即可得到A点坐标．
（2）设A、B两点的坐标分别为（x_A，y_A）、（x_B，y_B），根据（1）中得到的一元二次方程，利用根与系数的关系可得x_A+x_B=6，由此结合抛物线的定义加以运算，可得线段AB的长．

解答：解：（1）设A、B两点的坐标分别为（x_A，y_A）、（x_B，y_B），
∵抛物线y²=4x中，2p=4，得

p

2

=1，
∴抛物线的焦点为F（1，0），
由此可得经过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-1，
根据

y=x-1 y2=4x

，消去y，
得x²-6x+1=0，
解得x=

6± 32

2

=3±2

2

．
∵直线与抛物线相交于A、B两点，且A点在x轴上方，
∴A点的横坐标大于1，可得x_A=3+2

2

，
代入直线方程可得y_A=2+2

2

．
因此，点A的坐标为（3+2

2

，2+2

2

）；
（2）由（1）可得x_A、x_B是方程x²-6x+1=0的两个实数根，
∴x_A+x_B=6，x_Ax_B=1，
又∵点A、B在抛物线上，∴根据抛物线的定义，
得|AF|=x_A+

p

2

=x_A+1，|BF|=x_B+

p

2

=x_B+1．
因此，|AB|=|AF|+|BF|=（x_A+1）+（x_B+1）=（x_A+x_B）+2=8，
即线段AB的长等于8．

点评：本题给出抛物线的焦点弦的斜率为1，求焦点弦的长度．着重考查了抛物线定义与标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．