Question

若A_n和B_n分别表示数列{a_n}和{b_n}的前n项和，对任何正整数n，a_n=-，4B_n-12A_n=13n.

(1)求数列{b_n}的通项公式；

(2)设有抛物线列C₁，C₂，…，C_n，…,抛物线C_n(n∈N^*)的对称轴平行于y轴，顶点为(a_n,b_n)，且通过点D_n(0，n²+1),过点D_n且与抛物线C_n相切的直线的斜率为k_n，求极限.

(3)设集合X={x|x=2a_n,n∈N^*},Y={y|y=4b_n,n∈N^*}，若等差数列{C_n}的任一项C_n∈X∩Y,C₁是X∩Y中的最大数，且-265＜C₁₀＜-125，求{C_n}的通项公式.

Answer 1

解析:(1)a₁=-,A_n=.??

∵4B_n=13n+12A_n=13n-6(n+4)n,?

∴B_n=-,b₁=-,?

B_n==-(6n²+11n).??

∴b_n=-.?

(2)设抛物线y=a(x+a_n)²+b_n,?

n²+1=a(n+)²-,

n²+1=an²+1,∴a=1.?

∴y=(x+n+)²-?

=x²+(2n+3)x+(n+)²-.?

y′=2x+2n+3.?

∴D_n在抛物线上，且l为抛物线在D_n点的切线.?

抛物线在D_n处的导数为y′=2n+3.?

??

=

=?

=.?

(3)x=-2n-3,y=-12n-5.x=-2(n-1)-5,∴y≤x,X∩Y=Y.?

C_n∈{x|x=-12n-5,n∈N^*}.?

∴当n=1时,C_max=-17,C₁=-17,?

C₁₀=-17+9d,-265＜-17+9d＜-125,?

-27.3＜d＜-12,d=-27,-26,…,-11.?

仅当d=-24时，C₁₀=-17-9×24=233∈{x|x=-12n-5,n∈N^*}.?

C_n=-17-24(n-1)=-24n+7.