Question

在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则点C₁到平面A₁BD的距离为

 

．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C₁到平面A₁BD的距离．

解答： 解：以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A₁（1，0，1），B（1，1，0），C₁（0，1，1），
∴

DA1

=（1，0，1），

DB

=（1，1，0），
设平面A₁BD的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • DA1 =x+z=0 n • DB =x+y=0

，取x=1，得

n

=(1，-1，-1)，
∵

DC1

=(0，1，1)，
∴点C₁到平面A₁BD的距离d=

| n • DC1 |

| n |

=

|0-1-1|

3

=

2 3

3

．
故答案为：

2 3

3

．

点评：本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．