Question

已知函数f（x）=3

x-1

+2

2-x

的最大值为M．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）解关于x的不等式|x-1|+|x+3|≥M²．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,柯西不等式,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）运用柯西不等式，即可得到最大值M；
（Ⅱ）运用零点分区间的方法，讨论①当x≤-3时，②当-3＜x＜1时，③当x≥1时，去掉绝对值解不等式，求交集，最后求并集即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）由柯西不等式，可得（3

x-1

+2

2-x

）²≤（9+4）（x-1+2-x）=13，
则有3

x-1

+2

2-x

≤

13

，当且仅当x=

22

13

时，等号成立，
即有M=

13

；
（Ⅱ）不等式|x-1|+|x+3|≥M²．即为|x-1|+|x+3|≥13．
①当x≤-3时，原不等式可化为-2-2x≥13，解得x≤-

15

2

，则有x≤-

15

2

；
②当-3＜x＜1时，原不等式可化为1-x+x+3≥13，此时不等式无解；
③当x≥1时，原不等式可化为x-1+x+3≥13，解得x≥

11

2

，则有x≥

11

2

．
综上可得，原不等式的解集为{x|x≤-

15

2

或x≥

11

2

}．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的运用：求最值，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．