Question

某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD­EFGH材料切割成三棱锥H­ACF.

(1)若点M，N，K分别是棱HA，HC，HF的中点，点G是NK上的任意一点，求证：MG∥平面ACF；

(2)已知原长方体材料中，AB＝2 m，AD＝3 m，DH＝1 m，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t的值是多少？

Answer 1

 (1)证明：∵HM＝MA，HN＝NC，HK＝KF，∴MK∥AF，MN∥AC.

∵MK⊄平面ACF，AF⊂平面ACF，∴MK∥平面ACF，

同理可证MN∥平面ACF，

∵MN，MK⊂平面MNK，且MK∩MN＝M，

∴平面MNK∥平面ACF，又MG⊂平面MNK，故MG∥平面ACF.

(2)由程序框图可知a＝CF，b＝AC，c＝AF，

∴d＝＝＝cos∠CAF，

∴e＝bc＝AC·AF·sin∠CAF＝S_△ACF.

又h＝，∴t＝he＝h·S_△ACF＝V_{三棱锥H­ACF}.

∵三棱锥H­ACF为将长方体ABCD­EFGH切掉4个体积相等的小三棱锥所得，

∴V_{三棱锥H­ACF}＝2×3×1－4×××3×2×1＝6－4＝2，故t＝2.