题目内容

如图所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，已知AB=3，AD=4，AA₁=2，M是棱A₁D₁的中点，求直线AM与平面BB₁D₁D所成角的正弦值．

解：以D为坐标原点，DA，DC，DD₁为坐标轴，建立O-xyz坐标系，
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
设平面BDD₁B₁的一个法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，z）
由 $\text{[math]}$ ，可得z=0，令x=3，则y=-4，
可得平面BB₁D₁D的一个法向量 $\text{[math]}$ =（3，-4，0），∴ $\text{[math]}$ ．
设直线AM与平面BB₁D₁D所成的角是θ，则sinθ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故直线AM与平面BB₁D₁D所成角的正弦值是 $\text{[math]}$ ．
分析：先建立空间坐标系，分别求出向量 $\text{[math]}$ 与平面BB₁D₁D的法向量的坐标，再利用公式直线AM与平面BB₁D₁D所成的角是θ，则sinθ= $\text{[math]}$ 即可求出．
点评：正确利用公式直线AM与平面BB₁D₁D所成的角θ，则sinθ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 是解题的关键．

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