Question

如图所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，已知AB=3，AD=4，AA₁=2，M是棱A₁D₁的中点，求直线AM与平面BB₁D₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析：先建立空间坐标系，分别求出向量

AM

与平面BB₁D₁D的法向量的坐标，再利用公式直线AM与平面BB₁D₁D所成的角是θ，则sinθ=|cos＜

AM

，

n

＞|即可求出．

解答：解：以D为坐标原点，DA，DC，DD₁为坐标轴，建立O-xyz坐标系，
则

AM

=(-2，0，2)，

DD1

=(0，0，2)，

DB

=(4，3，0)，
设平面BDD₁B₁的一个法向量为

n

=（x，y，z）
由

n • DD1 =2z=0 n • DB =4x+3y=0

，可得z=0，令x=3，则y=-4，
可得平面BB₁D₁D的一个法向量

n

=（3，-4，0），∴

AM

•

n

=-6．
设直线AM与平面BB₁D₁D所成的角是θ，则sinθ=|cos＜

AM

，

n

＞|=

| AM • n |

| AM || n|

=

6

8 × 25

=

3 2

10

．
故直线AM与平面BB₁D₁D所成角的正弦值是

3 2

10

．

点评：正确利用公式直线AM与平面BB₁D₁D所成的角θ，则sinθ=|cos＜

AM

，

n

＞|=

| AM • n |

| AM || n|

是解题的关键．