Question

如图所示，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E、F是AC、PC的中点
（1）求证：AC⊥DF；
（2）若PA=2，AB=1，求三棱锥C-PED的体积．

Answer 1

分析：（1）连接ED、EF，由E、F是AC、PC的中点，可得EF∥PA，再由PA⊥平面ABCD，可得EF⊥平面ABCD，进而EF⊥AC，由底面的对角线互相垂直及线面垂直的判定定理可得：AC⊥平面DEF，进而AC⊥DF；
（2）由已知可得PA为三棱锥P-CED的高，由PA=2，AB=1，求出棱锥的底面和高，代入可得答案．

解答：证明：（1）连接ED、EF，
∵ABCD是正方形，E是AC的中点，
∴ED⊥AC…（1分）
又∵E、F分别是AC、PC的中点
∴EF∥PA…（2分）
又∵PA⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，…（3分）
∵AC?平面ABCD，
∴EF⊥AC…（4分）
又∵ED∩EF=E，ED，EF?平面DEF
∴AC⊥平面DEF…（5分）
又∵DF?平面DEF
故AC⊥DF…（7分）
解：（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴是PA三棱锥P-CED的高，且PA=2
∵ABCD是正方形，E是AC的中点，
∴△CED是等腰直角三角形…（9分）
又∵AB=1，
故CE=ED=

2

2

，
S△CED=

1

2

CE•ED=

1

2

•

2

2

•

2

2

=

1

4

…（12分）
故VC-PED=VP-CED=

1

3

•S△CED•PA=

1

3

•

1

4

•2=

1

6

…（14分）

点评：本题考查的知识点是线面垂直的判定与性质，棱锥的体积，熟练掌握空间线面垂直与线线垂直的互相转化是解答的关键．