Question

已知正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．
（1）在正方形ABCD内部随机取一点P，求满足|PH|＜

2

的概率；
（2）从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的 距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

Answer 1

（1）如图所示，

正方形的面积S_{正方形ABCD}=2×2=4．
设“满足|PH|＜

2

的正方形内部的点P的集合”为事件M，
则S（M）=S_△DGH+S_△AEH+S_扇形EGH=2×

1

2

×12+

1

2

×

2

×

π

2

×

2

=1+

π

2

．
∴P（M）=

1+ π 2

4

=

π

8

+

1

4

．
故满足|PH|＜

2

的概率为

π

8

+

1

4

．
（2）从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，共可得到

C

28

=28线段．
其中长度等于1的有8条：AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA；长度等于

2

的由4条：EF、FG、GH、HE；长度等于2的有6条：AB、BC、CD、DA、EG、
FH；长度等于

5

的有8条，AF、AG、BG、BH、CE、CH、DE、DF；长度等于2

2

的由2条AC、BD．
∴ξ的所有可能的取值为1，

2

，2，

5

，2

2

．
则P（ξ=1）=

8

28

=

2

7

，P（ξ=

2

）=

4

28

=

1

7

，P（ξ=2）=

6

28

=

3

14

，P（ξ=

5

）=

8

28

=

2

7

，P（ξ=2

2

）=

2

28

=

1

14

．
随机变量ξ的分布列为



Eξ=1×

2

7

+

2

×

1

7

+2×

3

14

+

5

×

2

7

+2

2

×

1

14

=

5+2 2 +2 5

7

．