题目内容

已知正方形ABCD的边长是4,对角线AC与BD交于O,将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角,并给出下面结论:①AC⊥BD;②AD⊥CO;③△AOC为正三角形;④cos∠ADC=
3
4
,则其中的真命题是(  )
分析:由题意,作出如图的图象,由正方形的性质知,CO⊥BD,AO⊥BD,可得BD⊥面AOC,且AC=AO=CO=2
2
,AD=CD=4,可由线面垂直判断AC⊥BD,AD⊥CO可反证确定它不成立,③可由正三角形的性质判断,④可由余弦定理直接求出cos∠ADC=
3
4
,由此可选出正确答案
解答:解:由题意,可作出如图的图象,在下图中,由正方形的性质知,CO⊥BD,AO⊥BD,故可得BD⊥面AOC
由此可得出BD⊥AC,∠AOC=60°,故①正确,
又由题设条件O是正方形对角线的交点,可得出AO=CO,于是有③△AOC为正三角形,可得③正确;
由上证知,CO与面ABD不垂直且CO⊥BD,故AD与CO不垂直,由此知②不正确;
由上证知,△AOC是等边三角形,故AC=AO=CO=2
2
,AD=CD=4,所以cos∠ADC=
16+16-8
2×4×4
=
3
4
故④正确
由上判断知①③④
故选A
点评:本题考查与二面角有关的综合问题,考查了线面垂直,面面角的平面的确定等问题,这是一个翻折问题,此类问题理解翻折过程中的变与不变是解题的关键
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