Question

20．F为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的右焦点，点P在双曲线右支上，△POF（O为坐标原点）满足OF=OP=5，$P{F_{\;}}=2\sqrt{5}$，则双曲线的离心率为 （　　）

• A． $\sqrt{3}+1$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 运用余弦定理可得cos∠OFP，求得sin∠OFP，求得P的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系，求得a，再由离心率公式，计算即可得到．

解答 解：由余弦定理可得cos∠OFP=$\frac{{5}^{2}+{5}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}{2×5×5}$=$\frac{3}{5}$，
则sin∠OFP=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠OFP}$=$\frac{4}{5}$，
可设P为第一象限的点，
即有P（3，4），
代入双曲线方程，可得$\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{16}{{b}^{2}}=1$，
又a²+b²=25，
解得a=$\sqrt{5}$，b=2$\sqrt{5}$，
则离心率为e=$\sqrt{5}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查余弦定理和任意角的三角函数的定义，考查运算能力，属于中档题．