Question

如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点．求证：

　　(1)DE=DA；

　　(2)平面础BDM⊥平面ECA；

(3)平面DEA⊥平面ECA．

Answer 1

答案：
解析：

(1)取EC的中点F，连结DF．     ∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BC．     易知DF∥BC，∴DF⊥EC．     在Rt△EFD和Rt△DBA中．     ∵EF=EC=BD，FD=BC=AB，     ∴Rt△EFD≌△DBA．故DE=DA．     (2)取CA的中点N，连结MN、BN，则AN EC．     又∵DB EC，∴MN DB．     ∴N点在平面BDM内．     ∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．     又CA上BN，∴BN⊥平面ECA．     ∵BN在平面MNBD内．     ∴平面MNBD⊥平面ECA．     (3)∵DM∥DN，BN⊥平面ECA，     ∴DM⊥平面ECA．     又DM在平面DEA内，     ∴平面DEA⊥平面ECA．