Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长都为a，P为A₁B上的点．
（1）试确定

A1P

PB

的值，使得PC⊥AB；
（2）若

A1P

PB

=

2

3

，求二面角P-AC-B的大小；
（3）在（2）的条件下，求C₁到平面PAC的距离．

Answer 1

分析：（1）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，直接根据PC⊥AB对应的数量积为0即可求出点P的位置；
（2）先根据条件求出点P的坐标，再求出两个平面的法向量，代入向量的夹角计算公式即可求出结论；
（3）直接利用公式h=|

C1C

|•cos＜

n

，

C1C

＞计算即可．

解答：解：以A为原点，AB为X轴，过点A且与AB垂直的直线为Y轴，AA₁为Z轴，建立空间直角坐标系A-XYZ；
则B（a，0，0），A₁（0，0，a）；C（

a

2

，

3

2

a，0），P（x，0，x）；
（1）由

CP

•

AB

=0⇒（x-

a

2

，-

3

2

a，z）•（a，0，0）=0，
即（x-

a

2

）•a=0，x=

a

2

，
所以：P为AB的中点；
即

A1P

PB

=1时，PC⊥AB；
（2）当

A1P

PB

=

2

3

时，即

A 1P

=

2

3

PB

，
得（x，0，z-a）=

2

3

（a-x，0，-z）

3x=2a-2x 3(z-a)=-2z

⇒

x= 2 5 a z= 3 5 a

，
所以：P（

2a

5

，0，

3a

5

）．
设平面PAC的一个法向量

n

=（b，c，d）
则

n • AP =0 n • AC =0

⇒
即

(b，c，d)• ( 2a 5 ，0， 3a 5 )=0 (b，c，d)•( a 2 ， 3 a 2 ，0)=0

⇒

2a  5 •b+ 3a 5 •d=0 a 2 •b+ 3 a 2 •c=0

；
取b=3，则c=-

3

，d=-2．
∴

n

=（3，-

3

，-2），
又平面ABC的一个法向量

m

=（0，0，1），
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m |

=

-2

4×1

=-

1

2

．
∴二面角P-AC-B的大小180°-120°=60°．
（3）设C₁到平面PAC的距离为h，
则h=|

C1C

|•cos＜

n

，

C1C

＞=

| n • C1C |

| n |

=

|(3，- 3 ，-2)•(0，0，-a)|

4

=

a

2

．
故C₁到平面PAC的距离为

a

2

．

点评：本题是对立体几何知识的综合考察，其中涉及到点到面的距离，二面角，线线垂直等知识，属于综合性很强的题目，要认真分析．