Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2

3

，D是棱AC之中点，∠C₁DC=60°．
（1）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（2）求二面角D-BC₁-C的大小；
（3）求点B₁到平面BC₁D的距离．

Answer 1

分析：取A₁C₁之中点为D₁，连接点DD₁，分别以DB，AC，DD₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
（1）求出平面BC₁D的一个法向量

n

，，通过

n

⊥

A B1

来证明AB₁∥平面BC₁D；
（2）分别求出平面BC₁D，平面BCC₁的一个法向量，利用两法向量的夹角求出二面角C₁-AB-C的大小．
（3）点B₁平面BC₁D的距离等于

BB1

在平面BC₁D的法向量方向上投影的绝对值．

解答：解：如图，取A₁C₁之中点为D₁，连接点DD₁，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，则有AC，BD，DD₁两两互相垂直，分别以DB，AC，DD₁所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间右手直角坐标系．∵∠C1DC=600，AC=2

3

，且D为AC之中点，CC₁⊥AC，所以侧棱CC₁=3，则所需各点的坐标分别为：D（0，0，0），A(0，-

3

，0)，B(3，0，0)，B1(3，0，3)，C(0，

3

，0)，C1(0，

3

，3)
（1）设平面BC₁D的法向量为

n

=(x，y，z)，又

DB

=(3，0，0)，

DC1

=(0，

3

，3)，
则由

n • DB =3x=0 n • DC1 = 3 y+3z=0

，取

n

=(0，-

3

，1)，又

AB1

=(3，

3

，3)
∵

n

•

AB1

=0即

n

⊥

AB1

，又AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D
（2）由（1）知平面BC₁D的法向量

n

=(0，-

3

，1)（向外），设平面BCC₁的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
又

BC

=(-3，

3

，0)，

CC1

=(0，0，3)，
由

m • BC =-3x1+ 3 y1=0 m • CC1 =3z1=0

，取

m

=(-1，-

3

，0)（向内）
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3

4

，所以二面角D-BC₁-C的平面角的大小arccos

3

4

（3）由（1）知平面BC₁D的法向量

n

=(0，-

3

，1)，又

BB1

=(0，0，3)，则点B₁平面BC₁D的距离为d=|

BB1 • n

| n |

|=

3

2

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．利用向量这一工具，解决空间几何体问题，能够降低思维难度．