Question

20．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过左焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆C相交，所得弦长为1，斜率为k（k≠0）的直线l过点（1，0），且与椭圆C相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使得无论k取何值，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}-\frac{k^2}{{1+4{k^2}}}$为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （ I）由题意知椭圆C过点$（-c，\frac{1}{2}）$，代入椭圆方程，再由离心率e以及a、b、c的关系列方程组求出a、b即可；
（ II）设在x轴上存在点M（t，0）满足题意，设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，利用根与系数的关系得出x₁+x₂与x₁x₂，其中A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；再计算$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$-$\frac{{k}^{2}}{1+{4k}^{2}}$的值，即可求出结论．

解答 解：（ I）由过左焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆C相交，所得弦长为1，
可知椭圆C过点$（-c，\frac{1}{2}）$，∴$\frac{c^2}{a^2}+\frac{1}{{4{b^2}}}=1$，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²；
三式联立解得$a=2，b=1，c=\sqrt{3}$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；…（4分）
（ II）设在x轴上存在点M（t，0）满足题意，
∵直线l过点（1，0）且斜率为k，则直线l的方程可设为：y=k（x-1）；
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=k（{x-1}）\end{array}\right.$可知：x²+4k²（x-1）²=4，
整理得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0；------------（6分）
易知：△=64k⁴-16（1+4k²）（k²-1）=16（3k²+1）＞0；
设  A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}\\{x_1}•{x_2}=\frac{{4{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}\end{array}\right.$；----------------（7分）
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁-t，y₁）•（x₂-t，y₂）
=（x₁-t）（x₂-t）+y₁y₂
=x₁x₂-t（x₁+x₂）+t²+k²（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）x₁x₂-（t+k²）（x₁+x₂）+t²+k²
=$\frac{{k}^{2}（{4t}^{2}-8t+1）{+t}^{2}-4}{1+{4k}^{2}}$；------------（9分）
由题意可设：$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$-$\frac{{k}^{2}}{1+{4k}^{2}}$=m（m为常数），---------------（10分）
∴k²（4t²-8t）+t²-4=m+4mk²对任意实数k（k≠0）恒成立；
∴$\left\{\begin{array}{l}4{t^2}-8t=4m\\{t^2}-4=m\end{array}\right.$，解得：t=2，m=0；
∴存在点M（2，0）满足题意，且常数为0．----------------（12分）

点评 本题考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，也考查了方程与平面向量的数量积应用问题，是综合题．