Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且图象关于直线x=2对称．
（1）证明f（x）是周期函数
（2）若当x∈[-2，2]时，f（x）=-x²+1，求当x∈[-6，-2]时，f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,周期函数

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的对称性和奇偶性之间的关系得到函数的周期是4，然后利用周期性即可得到结论．
（2）转化为当x∈[-6，-2]时，x+4∈[-2，2]，得出f（x）=f（x+4）=-（x+4）²+1，x∈[-2，2]，

解答： 解：（1）∵f（x）是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线x=2对称，
∴f（2+x）=f（2-x）=f（x-2），
∴f（4+x）=f（x），
即函数的周期是4，
（2）∵当x∈[-2，2]时，f（x）=-x²+1，
∴当x∈[-6，-2]时，x+4∈[-2，2]，
∴f（x）=f（x+4）=-（x+4）²+1，x∈[-2，2]，
即f（x）=）=-（x+4）²+1，x∈[-2，2]，

点评：本题主要考查函数奇偶性和对称性的应用，根据条件求出函数的周期是解决本题的关键，综合考查函数性质的综合应用．