Question

已知平面内一动点P（x，y）与两定点F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0）的距离之和等于2

3

．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程C；
（Ⅱ）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与曲线C相交于A、B两点，试判断是否存在k值，使以AB为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆定义知P的轨迹为：以F₁，F₂为焦点的椭圆，求出a、b，即可得到动点P的轨迹方程．（Ⅱ）假设存在这样的k值，通过

y=kx+2 x2+3y2-3=0

，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理以及判别式求解范围，然后通过AE⊥BE，解得k，判断结果即可．

解答： 解：（Ⅰ）由椭圆定义知P的轨迹为：以F₁，F₂为焦点的椭圆　…（2分）
易知c=

2

，2a=|PF1|+|PF2|=2

3

⇒a=

3

…（3分）
∴b=

a2-c2

=1…（4分）
∴动点P的轨迹方程为C：

x2

3

+y2=1…（5分）
（Ⅱ）假设存在这样的k值，由

y=kx+2 x2+3y2-3=0

得（1+3k²）x²+12kx+9=0
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0①…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x1+x2=- 12k 1+3k2 x1x2= 9 1+3k2

②…（8分）
而y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，…（9分）
要使以AB为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当AE⊥BE时，则

y1

x1+1

.

y2

x2+1

=-1，
即y₁•y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，
∴（k²+1）x₁x₂+2（k+1）（x₁+x₂）+5=0．③
将②式代入③整理得：(k2+1)

9

1+3k2

+(2k+1)

-12k

1+3k2

+5=0
解得k=

7

6

经验证k=

7

6

使①成立
综上可知，存在k=

7

6

，使得以AB为直径的圆过点E …（13分）

点评：本题考查直线与椭圆的方程综合应用，椭圆的方程的判断轨迹方程的求解，韦达定理的应用，考查转化思想以及计算能力．