Question

18．球O的半径为R，过球O的半径的中点作截面，该截面的面积为3π，若一个直四棱柱的底面是边长为1的正方形，且八个顶点都在球O的表面上，则该四棱柱的表面积为4$\sqrt{14}$+2．

Answer 1

分析 由已知得${R}^{2}-\frac{{R}^{2}}{4}=3$，从而R=2，设这个直四棱柱的高为h，则$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{h}^{2}}$=2×2，由上此能求出该四棱柱的表面积．

解答 解：∵球O的半径为R，过球O的半径的中点作截面，该截面的面积为3π，
设截面圆的半径为r，则πr²=3π，解得r=$\sqrt{3}$，
∴${R}^{2}-\frac{{R}^{2}}{4}=3$，解得R=2，
∵一个直四棱柱的底面是边长为1的正方形，且八个顶点都在球O的表面上，
设这个直四棱柱的高为h，
∴$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{h}^{2}}$=2×2，解得h=$\sqrt{14}$，
∴该四棱柱的表面积为：
S=4×$\sqrt{14}×1$+2×1²=4$\sqrt{14}$+2．
故答案为：$4\sqrt{14}+2$．

点评 本题考查四棱柱的表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意球的性质的合理运用．